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Python给扩展模块提供C API是指Python解释器允许使用C语言编写模块，这些模块可以被Python代码调用。为了使C模块能够与Python解释器进行交互，Python提供了一系列的API函数，这些函数允许C模块与Python对象进行交互，并且将C函数暴露给Python解释器，使得Python代码可以调用它们。

下面是一个简单的例子，演示了如何使用Python的C API来编写一个C扩展模块。该模块包含两个函数：一个将输入的字符串转换为大写字母，另一个将输入的字符串转换为小写字母。

c
#include <Python.h>

static PyObject *to_upper(PyObject *self, PyObject *args) {
char *input_str;
if (!PyArg_ParseTuple(args, "s", &input_str)) {
return NULL;
}
PyObject *output_str = PyUnicode_FromString(input_str);
PyUnicode_AsASCIIString(output_str);
for (int i = 0; i < PyUnicode_GET_LENGTH(output_str); i++) {
PyUnicode_WRITE(PyUnicode_AS_UNICODE(output_str), i, toupper(PyUnicode_READ_CHAR(output_str, i)));
}
return output_str;
}

static PyObject *to_lower(PyObject *self, PyObject *args) {
char *input_str;
if (!PyArg_ParseTuple(args, "s", &input_str)) {
return NULL;
}
PyObject *output_str = PyUnicode_FromString(input_str);
PyUnicode_AsASCIIString(output_str);
for (int i = 0; i < PyUnicode_GET_LENGTH(output_str); i++) {
PyUnicode_WRITE(PyUnicode_AS_UNICODE(output_str), i, tolower(PyUnicode_READ_CHAR(output_str, i)));
}
return output_str;
}

static PyMethodDef mymodule_methods[] = {
{"to_upper", to_upper, METH_VARARGS, "Convert input string to uppercase."},
{"to_lower", to_lower, METH_VARARGS, "Convert input string to lowercase."},
{NULL, NULL, 0, NULL}
};

static struct PyModuleDef mymodule_module = {
PyModuleDef_HEAD_INIT,
"mymodule",
"My module documentation",
-1,
mymodule_methods
};

PyMODINIT_FUNC PyInit_mymodule(void) {
return PyModule_Create(&mymodule_module);
}


在上面的例子中，我们首先定义了两个函数to_upper和to_lower，每个函数都接受一个字符串参数，并将其转换为大写或小写。然后，我们定义了一个名为mymodule_methods的字典，其中包含我们要公开的两个函数的名称、指针和文档字符串。最后，我们定义了一个名为mymodule_module的结构体，它包含有关模块的信息，例如模块名称、文档字符串和方法列表。最后，我们使用PyModule_Create()函数来创建并返回一个新的Python模块对象。

这是一个非常简单的例子，但是它演示了如何使用Python的C API来编写扩展模块。更复杂的模块可以使用C API来访问Python对象、调用Python函数、创建自定义数据类型等。